Bazı sayılar yalnızca 1'e ve kendisine bölünür; başka hiçbir sayıya tam bölünmez. Bu sayılar, diğer bütün sayıların yapı taşlarıdır. Bu konuda bu özel sayıları, yani asal sayıları ve iki sayının ortak bölenlerini ve katlarını öğreneceğiz.
1 Asal Sayılar
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 İlk on asal sayı
- 31, 37, 41, 43, 47 30 ile 50 arasındakiler
2 Asal Çarpanlara Ayırma
Bir sayıyı yalnızca asal sayıların çarpımı olarak yazmaya asal çarpanlarına ayırma denir. Bunun için çarpan ağacı ya da bölen merdiveni kullanılır.
Örnek
60 sayısını bölen merdiveni ile asal çarpanlarına ayıralım.
- 1 60'ı en küçük asal sayı olan 2'ye böleriz: \( 60 \div 2 = 30 \).
- 2 30'u yine 2'ye böleriz: \( 30 \div 2 = 15 \).
- 3 15, 2'ye bölünmez; 3'e böleriz: \( 15 \div 3 = 5 \).
- 4 5 asaldır: \( 5 \div 5 = 1 \). 1'e ulaşınca dururuz.
Cevap: \( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \). Asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
| Sayı | Asal bölen |
|---|---|
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Kendini dene · Soru 1
72 sayısının asal çarpanları hangileridir?
Açıklama
\( 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2 \). Asal çarpanları yalnızca 2 ve 3'tür; 4, 6 ve 9 asal değildir.
3 Ortak Bölen
Örnek
18 ve 24 sayılarının ortak bölenlerini ve en büyük ortak bölenini bulalım.
- 1 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
- 2 24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
- 3 İki listede de olanlar: 1, 2, 3, 6.
Cevap: Ortak bölenler 1, 2, 3, 6; en büyük ortak bölen 6'dır.
4 Ortak Kat
Örnek
4 ve 6 sayılarının ilk üç ortak katını ve en küçük ortak katını bulalım.
- 1 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …
- 2 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, …
- 3 İki listede de olanlar: 12, 24, 36, …
Cevap: İlk üç ortak kat 12, 24, 36; en küçük ortak kat 12'dir.
5 Problemler
Örnek
Bir öğretmen 24 kalem ve 36 silgiyi, her öğrenciye eşit sayıda kalem ve eşit sayıda silgi verecek şekilde, hiç artmayacak biçimde paylaştırmak istiyor. En fazla kaç öğrenciye paylaştırabilir?
- 1 Öğrenci sayısı hem 24'ü hem 36'yı kalansız bölmelidir: ortak bölen aranıyor.
- 2 24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. 36'nın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
- 3 Ortak bölenlerin en büyüğü 12'dir.
Cevap: En fazla 12 öğrenciye; her öğrenci 2 kalem ve 3 silgi alır.
Örnek
Bir otobüs durağından A otobüsü 15 dakikada, B otobüsü 20 dakikada bir kalkıyor. İkisi saat 08.00'de birlikte kalktıysa bir sonraki birlikte kalkış saat kaçtadır?
- 1 Otobüslerin yeniden birlikte kalkacağı süre hem 15'in hem 20'nin katı olmalıdır: ortak kat aranıyor.
- 2 15'in katları: 15, 30, 45, 60, … 20'nin katları: 20, 40, 60, …
- 3 En küçük ortak kat 60 dakikadır.
Cevap: 60 dakika sonra, yani saat 09.00'da birlikte kalkarlar.
Kendini dene · Soru 2
Kenar uzunlukları 12 cm ve 18 cm olan dikdörtgen bir kâğıt, hiç artmayacak şekilde eş karelere bölünecektir. Karelerin bir kenarı en fazla kaç cm olabilir?
Açıklama
Karenin kenarı hem 12'yi hem 18'i bölmelidir. Ortak bölenler 1, 2, 3, 6; en büyüğü 6'dır.
Konuyu pekiştir
Şimdi test çözme zamanı
Öğrendiklerini bu konunun testleriyle dene. Her testin sonunda doğru cevapları ve çözümleri görebilirsin.
Yorumlar
Yorum yazmak ve sorularını sormak için giriş yap ya da ücretsiz kayıt ol.