12. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Soruları Çöz (8. Senaryo)

y = 3ˣ⁻¹ + 2 için y − 2 = 3ˣ⁻¹ olur. Logaritmanın tanımından x − 1 = log₃(y − 2), yani x = 1 + log₃(y − 2) bulunur. Değişkenler yer değiştirince f⁻¹(x) = 1 + log₃(x − 2) olur (x > 2). f⁻¹(29) = 1 + log₃27 = 1 + 3 = 4. Kontrol: f(4) = 3³ + 2 = 29. (Kural 8 puan, f⁻¹(29) = 4 için 7 puan.)

log(ln x) = 0 ise ln x = 10⁰ = 1 olur. ln x = 1 ise x = e'dir. ln(log y) = 0 ise log y = e⁰ = 1 olur. log y = 1 ise y = 10'dur. Buradan x · y = 10e bulunur.

a) Taban değiştirme özelliğiyle log₂3 · log₃5 · log₅16 = log₂16 = 4 bulunur. (7 puan)
b) log₉8 = log₂8 / log₂9 = 3 / (2·log₂3) = 3 / (2a) bulunur. (8 puan)

Tanım koşulu: 2x − 1 > 0, yani x > 1/2. Taban 0 ile 1 arasında olduğundan logaritma fonksiyonu azalandır ve eşitsizliğin yönü değişir. −3 = log_{1/2}((1/2)⁻³) = log_{1/2}8 olduğundan 2x − 1 ≤ 8 olur. Buradan x ≤ 9/2 bulunur. Tanım koşuluyla birleştirince Ç = (1/2, 9/2] olur. (Tanım koşulu 4, yön değişimi açıklaması 4, çözüm 7 puan.)

a) N(0) = 5 · 3⁰ = 5 bin kişi. (4 puan)
b) 5 · 3ᵗᐟ⁵ = 135 ise 3ᵗᐟ⁵ = 27 = 3³ olur. t/5 = 3 ise t = 15 yıl. (8 puan)
c) N(5) = 15 olduğundan 0–5. yıllar arasındaki artış 15 − 5 = 10 bin kişidir. N(10) = 45 ve N(15) = 135 olduğundan 10–15. yıllar arasındaki artış 135 − 45 = 90 bin kişidir. Son 5 yıldaki artış 9 kat fazladır; üstel modelde artış zamanla hızlanır. (8 puan)

a) a₁ = 2 + 1 = 3, a₂ = 4 − 1 = 3, a₃ = 8 + 1 = 9, a₄ = 16 − 1 = 15. (5 puan)
b) a₃ = a₂ + 2a₁ = 3 + 2 = 5; a₄ = a₃ + 2a₂ = 5 + 6 = 11; a₅ = a₄ + 2a₃ = 11 + 10 = 21. (5 puan)

Grafikten a₁ = 35, a₂ = 30, a₃ = 25, a₄ = 20 okunur; terimler 5'er azalmaktadır. Genel terim aₙ = 40 − 5n olur. (5 puan) aₙ > 0 için n < 8 olduğundan n ≤ 7'dir; a₇ = 5 ve a₈ = 0 olur. Salon 7 sıradan oluşur. (5 puan) Toplam koltuk sayısı 35 + 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5 = 140'tır. (5 puan)