10. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Son Hazırlık Soruları Çöz (Tüm Senaryolar)

TAM PUAN (10 puan): a) Pisagor teoremine göre |AB|² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576 olduğundan |AB| = 24 m bulunur. cos α = komşu dik kenar / hipotenüs = 24/25 olur. b) Kenar oranıyla tan α = karşı dik kenar / komşu dik kenar = 7/24 bulunur. sin α = 7/25 ve cos α = 24/25 olduğundan sin α / cos α = (7/25) / (24/25) = 7/24 olur. İki sonuç eşittir; yani tan α = sin α / cos α özdeşliği bu üçgende sağlanır.
KISMİ PUAN (5 puan): Her doğru bölüm için 5 puan: (a) bölümünde |AB| = 24 m ve cos α = 24/25 değerlerinin ikisi de doğruysa 5 puan; (b) bölümünde tan α = 7/24 değeri iki yoldan da hesaplanmış ve eşitlik belirtilmişse 5 puan. Yalnızca bir bölüm tam doğruysa 5 puan verilir.
SIFIR PUAN: Hiçbir bölümü tam doğru yazmazsa ya da cevap vermezse 0 puan verilir.
Püf noktası: Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır ve tan α = sin α / cos α özdeşliği ile aynı değeri verir; önce eksik kenar Pisagor teoremiyle bulunmalıdır.
Sık yapılan hata: Öğrenciler |AB| uzunluğunu bulmadan cos α yerine 7/25 yazar ya da tan α için hipotenüsü kullanarak 7/25 sonucuna ulaşır.

TAM PUAN (10 puan): Elif'in görüşü yanlıştır. En küçük açı en kısa dik kenarın karşısındadır. 3-4-5 üçgeninde sin = 3/5, 6-8-10 üçgeninde sin = 6/10 = 3/5 bulunur; değerler eşittir. Tüm kenar uzunlukları aynı oranda değiştiğinde açılar değişmediği için trigonometrik oranlar da değişmez.
KISMİ PUAN (5 puan): Elif'in görüşünün yanlış olduğunu (değerin değişmediğini) yazmış, ancak sinüs değerlerini hesaplamamış ya da hesabı/gerekçesi yanlış veya eksik.
SIFIR PUAN: Elif'in görüşünü doğru bulmuş ya da cevap yazmamış.
Püf noktası: Benzer üçgenlerde eş açıların karşısındaki kenarların oranları değişmez; bu yüzden trigonometrik oran yalnızca açıya bağlıdır.
Sık yapılan hata: Öğrenciler kenar uzunlukları büyüyünce sinüs değerinin de büyüdüğünü sanır; oranın hipotenüse bölünerek sabit kaldığını görmez.

TAM PUAN (10 puan): sin²α + cos²α = 1 olduğundan cos²α = 1 − 25/169 = 144/169, dar açıda cos α = 12/13 bulunur. α için: sin α = 5/13, cos α = 12/13, tan α = sin α / cos α = 5/12, cot α = 12/5. β = 90° − α olduğundan sin β = cos α = 12/13, cos β = sin α = 5/13, tan β = cot α = 12/5, cot β = tan α = 5/12.
KISMİ PUAN (5 puan): İki satırdan yalnızca biri tamamen doğru doldurulmuş (α satırı: 12/13, 5/12, 12/5; β satırı: 12/13, 5/13, 12/5, 5/12).
SIFIR PUAN: Hiçbir satır tamamen doğru doldurulmamış ya da cevap yok.
Püf noktası: sin²α + cos²α = 1 ile cos α bulunur; tan α = sin α / cos α ve tümler açılarda sin α = cos(90° − α), tan α = cot(90° − α) kullanılır.
Sık yapılan hata: Öğrenciler β için yeni hesap yapmaya çalışıp sin β = cos α eşitliğini kullanmaz ya da tanjantı kosinüs/sinüs diye ters yazar.

BONUS (10 puan üzerinden)
TAM PUAN (10 puan): a) cos A = |AB| / |AC| = 3/5 ve |AC| = 20 olduğundan |AB| = 12 cm bulunur. Pisagor teoreminden |BC|² = 20² − 12² = 256 olur, |BC| = 16 cm bulunur. b) Ali doğrudur. cot A = komşu/karşı = |AB| / |BC| = 12/16 = 3/4 ve tan C = karşı/komşu = |AB| / |BC| = 3/4 bulunur. Dik üçgende A + C = 90° olduğundan tan C = tan(90° − A) = cot A eşitliği sağlanır.
KISMİ PUAN (5 puan): a) ve b) bölümlerinden yalnızca biri tamamen doğru (a: |BC| = 16 cm; b: Ali'nin doğru olduğu, değerler ve 90° − A ilişkisiyle gerekçelendirilmiş).
SIFIR PUAN: a) ve b) bölümlerinin ikisi de eksik ya da yanlış; ya da cevap yok.
Püf noktası: Tümler iki dar açıda bir açının tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir (tan α = cot(90° − α)); önce eksik kenarı oran ve Pisagor ile bulmak gerekir.
Sık yapılan hata: Öğrenciler cos A = 3/5 değerini kenar uzunluğu sanır ya da |AB| = 12 bulunduktan sonra tan C değerini |BC| / |AB| diye ters yazar.

TAM PUAN (10 puan): Mert'in söylediği yanlıştır. Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların uzunlukları oranında böler: |BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 12/18 = 2/3 olur. |AB| ≠ |AC| olduğundan D noktası [BC] kenarının orta noktası olamaz. |BD| + |DC| = 20 cm olduğundan |BD| = 8 cm ve |DC| = 12 cm bulunur.
KISMİ PUAN (5 puan): İç açıortay özelliğini doğru kurar (|BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 2/3) ya da yalnızca |BD| = 8 cm ve |DC| = 12 cm yazar; ancak Mert'in yanlışlığını gerekçelendirme ve iki uzunluğu birlikte bulma ölçütlerinin ikisini birden sağlamaz.
SIFIR PUAN: Oran özelliğini kuramaz, uzunlukları yanlış bulur (ör. |BD| = |DC| = 10 cm) ya da cevap yazmaz.
Püf noktası: İç açıortay, karşı kenarı açıyı oluşturan kenarların oranında böler; kenarortay gibi ortadan bölmez.
Sık yapılan hata: Öğrenciler açıortay ile kenarortayı karıştırıp D'yi [BC] kenarının orta noktası sanar ve |BD| = |DC| = 10 cm yazar.

TAM PUAN (10 puan): a) Açıortay üzerindeki her nokta açının kollarına eşit uzaklıktadır. K noktası A açısının açıortayı üzerinde olduğundan AB ve AC kenarlarına, B açısının açıortayı üzerinde olduğundan AB ve BC kenarlarına eşit uzaklıktadır. Bu nedenle K noktasının [BC] ve [AC] kenarlarına uzaklığı da 6 m dir. b) K noktası [AC] ve [BC] kenarlarına eşit uzaklıkta olduğundan C açısının açıortayı üzerindedir. Bu nedenle [CK] ışını 70° lik açıyı 35° ve 35° lik iki açıya böler.
KISMİ PUAN (5 puan): Her doğru madde için 5 puan: a) maddesinde 6 m ve 6 m sonucunu açıortay özelliğiyle gerekçelendirerek yazan, b) maddesinde 35° ve 35° sonucunu K'nin kenarlara eşit uzaklığıyla gerekçelendirerek yazan öğrenci o maddeden 5 puan alır (iki madde doğruysa 10 puan, bir madde doğruysa 5 puan). Gerekçesi yazılmamış ya da yanlış olan maddeden puan verilmez.
SIFIR PUAN: Hiçbir maddeyi sonuç ve gerekçesiyle doğru yazmazsa.
Püf noktası: Bir açının iç bölgesindeki nokta açının kollarına eşit uzaklıktaysa o açının açıortayı üzerindedir; iç açıortaylar iç teğet çemberin merkezinde kesişir.
Sık yapılan hata: Öğrenciler K'nin kenarlara uzaklıklarını köşelere olan uzaklıklarla karıştırır ya da CK'nin açıortay olduğunu gerekçelendirmeden 35° yazar.

BONUS (10 puan üzerinden)
TAM PUAN (10 puan): Arda'nın söylediği yanlıştır. İç açıortay karşı kenarı komşu kenarların oranında böler: |BE|/|EC| = |AB|/|AC| = 6/9 = 2/3 ve |BE| + |EC| = 5 olduğundan |BE| = 2 m bulunur. Dış açıortay için |BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 2/3 yazılır. |BD| = x ise |DC| = x + 5 olur, buradan 3x = 2x + 10 ve |BD| = 10 m bulunur. |BD| ≠ |BE| olduğundan B noktası [DE] nin orta noktası değildir. |DE| = 10 + 2 = 12 m'dir.
KISMİ PUAN (5 puan): Aşağıdaki iki maddeden yalnızca birini doğru yazmıştır. Madde 1: Arda'nın yanlış olduğunu belirtip |BE| = 2 m ve |BD| = 10 m değerlerini doğru bulmuştur. Madde 2: |DE| = 12 m bulmuştur. Her doğru madde için 5 puan verilir (iki doğru madde 10 puan, bir doğru madde 5 puan).
SIFIR PUAN: Hiçbir maddeyi doğru yazmamıştır: Arda'yı doğru bulmuş ya da |BE|, |BD| ve |DE| uzunluklarının hiçbirini doğru hesaplayamamıştır; cevap yoksa da 0 puan verilir.
Püf noktası: İç açıortay [BC] kenarı üzerinde, dış açıortay ise [CB ışınında B'nin dışında parça oluşturur. İkisinde de parçaların oranı |AB|/|AC| oranına eşittir. Oran aynı olsa da parçaların uzunlukları aynı olmaz.
Sık yapılan hata: Öğrenciler dış açıortayda |BD| + |DC| = |BC| yazar. Oysa D noktası B'nin dışında kaldığından |DC| = |BD| + |BC| olur.

TAM PUAN (10 puan): a) L parçasında yükseklik K ile aynıdır (5 cm), taban 8 cm'den 24 cm'ye, yani 3 katına çıkmıştır. Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları oranı tabanlarının oranına eşit olduğundan alan da 3 katına çıkar: 3 · 20 = 60 cm². b) M parçasında taban K ile aynıdır (8 cm), yükseklik 5 cm'den 10 cm'ye, yani 2 katına çıkmıştır. Taban uzunlukları eşit üçgenlerin alanları oranı yüksekliklerinin oranına eşit olduğundan alan 2 katına çıkar: 2 · 20 = 40 cm².
KISMİ PUAN (5 puan): Her doğru madde için 5 puan (a maddesi: 60 cm² ve gerekçe doğru, b maddesi: 40 cm² ve gerekçe doğru; 2 doğru madde 10 puan, 1 doğru madde 5 puan). Bir maddenin doğru sayılması için hem alan değeri hem de değişimin (kaç katına çıktığının) gerekçesi doğru olmalıdır.
SIFIR PUAN: Hiçbir maddeyi doğru yazmazsa (iki maddede de alan değeri yanlışsa, yalnızca sayı yazılıp gerekçe verilmediği hâlde sayı da yanlışsa ya da cevap yazılmamışsa).
Püf noktası: Yükseklik sabitken alan tabanla, taban sabitken alan yükseklikle doğru orantılı değişir; yani üçgenin alanı hem tabana hem de o tabana ait yüksekliğe bağlıdır.
Sık yapılan hata: Öğrenciler tabanın 3 katına çıkması gibi bir değişimin alanı 3 katına değil de 24 cm² gibi tabanla aynı sayıya ya da toplamsal olarak (20 + 16 gibi) değiştirdiğini sanırlar.

TAM PUAN (10 puan): Kaan'ın görüşü yanlıştır. Eski üçgenin alanı 12 · 8 / 2 = 48 cm², yeni üçgenin alanı 24 · 4 / 2 = 48 cm² olur. Taban 2 katına çıkmış ancak yükseklik yarıya indiği için alan değişmez; alan hem tabana hem yüksekliğe bağlıdır.
KISMİ PUAN (5 puan): Yalnızca "Kaan yanlıştır / alan değişmez" sonucunu yazmış; alan hesabı ya da gerekçe yok veya hatalıdır.
SIFIR PUAN: Kaan'ın görüşünün doğru olduğunu yazmışsa ya da cevap boş bırakılmışsa.
Püf noktası: Üçgenin alanı taban ile o tabana ait yüksekliğin ikisine birden bağlıdır; biri artarken diğeri azalırsa alan değişmeyebilir.
Sık yapılan hata: Öğrenciler yalnızca tabandaki değişime bakıp yüksekliğin değiştiğini göz ardı eder ve alanın da taban kadar katlandığını düşünür.

BONUS (10 puan üzerinden)
TAM PUAN (10 puan): a) A ve K noktaları [BC] kenarına paralel bir doğru üzerindedir, bu yüzden her ikisinin [BC] kenarına uzaklığı (yükseklik) eşittir. ABC ve KBC üçgenlerinin ortak tabanı [BC] olduğundan alanları eşittir: KBC'nin alanı 60 cm²'dir. b) KBD ve KBC üçgenlerinin K'dan [BC] kenarına indirilen yüksekliği ortaktır. Tabanları |BD| = 4 cm ve |BC| = 4 + 6 = 10 cm olduğundan alanları oranı 4/10'dur. KBD'nin alanı 60 · 4/10 = 24 cm²'dir.
KISMİ PUAN (5 puan): Her doğru bölüm için 5 puan (a bölümü: 60 cm² ve eşit yükseklik gerekçesi; b bölümü: 24 cm² ve ortak yükseklik/taban oranı gerekçesi). İki bölüm doğruysa 10 puan, yalnızca biri doğruysa 5 puan.
SIFIR PUAN: Hiçbir bölümü doğru yazmazsa (sonucu ve gerekçeyi birlikte doğru vermemişse) ya da cevap boş bırakılmışsa.
Püf noktası: Köşeleri paralel doğrular üzerinde olan, ortak tabanlı üçgenlerin yükseklikleri eşit olduğundan alanları eşittir; ortak yükseklikte alanlar tabanlarla orantılıdır.
Sık yapılan hata: Öğrenciler KBD'nin tabanını [BC] ile karıştırır ya da K'nın yeri farklı olduğu için KBC'nin alanının ABC'den farklı olacağını düşünür.

TAM PUAN (10 puan): 1. ve 2. ifade eşitlenir: ½·b·c·sin A = ½·a·c·sin B. İki taraf ½·c ile sadeleşir: b·sin A = a·sin B, buradan a/sin A = b/sin B bulunur. 2. ve 3. ifade eşitlenir: ½·a·c·sin B = ½·a·b·sin C. İki taraf ½·a ile sadeleşir: c·sin B = b·sin C, buradan b/sin B = c/sin C bulunur. Sonuç olarak a/sin A = b/sin B = c/sin C (sinüs teoremi) elde edilir.
KISMİ PUAN (5 puan): Yalnızca bir eşitliği (a/sin A = b/sin B ya da b/sin B = c/sin C) doğru elde eder, diğerini elde edemez ya da yanlış yazar.
SIFIR PUAN: Eşitliklerin hiçbirini doğru elde edemez ya da cevap yazmaz.
Püf noktası: Aynı üçgenin alanı üç farklı biçimde yazılıp eşitlenir; ortak çarpanlar sadeleşince kenarların karşı açıların sinüsüne oranı elde edilir.
Sık yapılan hata: Öğrenciler eşitliği kurduktan sonra a·sin A = b·sin B gibi çapraz çarpımı yanlış yaparak kenarı yanlış açının sinüsüyle eşleştirir.

TAM PUAN (10 puan): Dikmenin ayağı H olsun. ABH dik üçgeninde |AH| = 8·cos60° = 4 m, |BH| = 8·sin60° = 4√3 m olur; |HC| = 5 − 4 = 1 m'dir. BHC dik üçgeninde Pisagor teoremiyle |BC|² = (4√3)² + 1² = 48 + 1 = 49, |BC| = 7 m bulunur. Kosinüs teoremiyle |BC|² = 8² + 5² − 2·8·5·cos60° = 64 + 25 − 40 = 49, |BC| = 7 m bulunur. İki yöntemde de |BC| = 7 m çıktığı için kosinüs teoremi bu üçgende doğrulanmıştır.
KISMİ PUAN (5 puan): İki yöntemden yalnızca birinde |BC| = 7 m değerini doğru bulur, diğer yöntemi yapamaz ya da yanlış yapar.
SIFIR PUAN: İki yöntemde de |BC| uzunluğunu doğru bulamaz ya da cevap yazmaz.
Püf noktası: Kosinüs teoremi, dikme indirilerek yazılan Pisagor ve trigonometrik oran eşitliklerinden çıkar. Bu yüzden iki yolun sonucu aynıdır.
Sık yapılan hata: Öğrenciler dikmenin ayağı olan H'yi [AC] üzerinde |HC| = 5 − 4 = 1 m alacakları yerde |HC| = 5 m alır ya da kosinüs teoreminde −2·b·c·cos A terimini toplar.

BONUS (10 puan üzerinden)
TAM PUAN (10 puan): 1) Hata 1. adımdadır: H noktası A ile C arasında olduğundan |HC| = b − x olmalıdır (b + x değildir). BHC dik üçgeninde a² = h² + (b − x)² olur. ABH dik üçgeninde h² = c² − x² olduğundan a² = c² − x² + b² − 2bx + x² = b² + c² − 2bx bulunur. ABH dik üçgeninde x = c · cos A olduğundan a² = b² + c² − 2 · b · c · cos A elde edilir.
2) Selin'in eşitliği: 14² + 15² + 2 · 14 · 15 · 3/5 = 196 + 225 + 252 = 673 olur, ancak a² = 13² = 169'dur; eşitlik sağlanmaz. Düzeltilmiş eşitlik: 196 + 225 − 252 = 169 = 13² olur; eşitlik sağlanır. Bu üçgen için doğru olan, eksi işaretli düzeltilmiş eşitliktir.
KISMİ PUAN (5 puan): Her doğru madde için 5 puan (2 doğru madde 10 puan, 1 doğru madde 5 puan). 1. madde yalnızca hatalı adımı (|HC| = b − x olmalı) belirtip a² = b² + c² − 2 · b · c · cos A sonucuna ulaşan cevapta doğru sayılır; yalnızca hatayı bulup ispatı tamamlamayan cevap bu maddeden puan almaz. 2. madde iki eşitliğin sayısal sonuçlarını (673 ve 169) doğru hesaplayıp düzeltilmiş eşitliğin doğru olduğunu yazan cevapta doğru sayılır.
SIFIR PUAN: Hiçbir maddeyi doğru yazmazsa (hatalı adımı bulamaz ve sayılarla doğrulamayı doğru yapamazsa) ya da cevap yazmazsa.
Püf noktası: H noktası [AC] üzerinde olduğundan |HC| = b − x yazılır; −2·b·c·cos A terimi bu çıkarmadan gelir ve sayılarla deneme sonucu doğrular.
Sık yapılan hata: Öğrenciler |HC| uzunluğunu b + x yazıp artı işaretli yanlış bir eşitliğe ulaşır ya da hatayı fark etmeden ispatı tamamlanmış sayar.

TAM PUAN (5 puan): Burak'ın sorusu ölçütü karşılamaz. Amacı net olan bir araştırma sorusu “ilişkilendiren” türde olmalı, yani iki kategorik değişken arasındaki belirli bir ilişkiye odaklanmalıdır. Burak'ın sorusunda belirli bir ilişki tanımlanmamıştır (“bazı şeyler” ifadesi belirsizdir).
SIFIR PUAN: Burak dışında bir öğrenciyi seçer ya da cevap yazmaz.
Püf noktası: Amacı net bir soru, iki kategorik değişken arasındaki belirli bir ilişkiyi sorgulayan “ilişkilendiren” türde bir sorudur.
Sık yapılan hata: Öğrenciler “etkisi nedir?” biçimindeki soruyu, değişkenlerin ve aralarındaki ilişkinin belirli olup olmadığına bakmadan uygun sanır.

TAM PUAN (5 puan): Hayır, doğru değildir. Soru “kategorik veri toplamaya uygun olmalıdır” ölçütünü karşılamaz. Telefon kullanım süresi (dakika) ve sınav puanı nicel (sayısal) verilerdir; belirli gruplara ya da sınıflara ayrılmış kategorik değişkenler değildir.
SIFIR PUAN: Tam puan ölçütünü karşılamayan her cevap: “doğrudur” demek, “doğru değildir” deyip eksik olan ölçütü (kategorik veri toplamaya uygunluk) belirtmemek ya da gerekçesinde değişkenlerin nicel olduğunu yazmamak. Cevap yazılmamışsa da 0 puan verilir.
Püf noktası: İki kategorik değişkenli araştırma sorusunda her iki değişken de belirli gruplara ayrılabilir (kategorik) olmalıdır; sayısal ölçümler bu ölçütü karşılamaz.
Sık yapılan hata: Öğrenciler sorunun açık, evreninin belli ve veri toplanabilir olmasını yeterli sayar; değişkenlerin kategorik olup olmadığını kontrol etmeyi unutur.