10. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Soruları Çöz (5. Senaryo)

a) (sinα + cosα)² = sin²α + cos²α + 2·sinα·cosα = 1 + 24/25 = 49/25. α dar açı olduğundan sinα + cosα > 0 olur ve sinα + cosα = 7/5 bulunur. b) tanα + cotα = sinα/cosα + cosα/sinα = (sin²α + cos²α)/(sinα·cosα) = 1/(12/25) = 25/12. (Doğrulama: sinα = 3/5, cosα = 4/5 için de sonuçlar sağlanır.) Kabul edilecek temel noktalar: sin²α + cos²α = 1 özdeşliğinin kullanılması, tan ve cot'un sin ve cos cinsinden yazılması.

a) BHC dik üçgeninde tanC = |BH|/|HC| = 12/9 = 4/3. |BC|² = 12² + 9² = 225 olduğundan |BC| = 15 cm bulunur. ABC dik üçgeninde tanC = |AB|/|BC| = x/15 = 4/3 olduğundan x = 20 cm bulunur. b) |AC|² = 20² + 15² = 625 olduğundan |AC| = 25 cm bulunur. ABC üçgeninde sin(BAC) = |BC|/|AC| = 15/25 = 3/5. BHC üçgeninde cos(BCA) = |HC|/|BC| = 9/15 = 3/5. Dolayısıyla sin(BAC) = cos(BCA) = 3/5 olur. Bu, sinα = cos(90° − α) özdeşliğiyle uyumludur.

İç açıortay özelliği: |BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 12/18 = 2/3 ve |BD| + |DC| = 15 olduğundan |BD| = 6 cm, |DC| = 9 cm bulunur. Dış açıortay özelliği: |EB|/|EC| = |AB|/|AC| = 2/3 olur. AB < AC olduğundan E noktası B'nin dışında (C'nin ters tarafında) bulunur ve |EC| = |EB| + 15 olur. 3·|EB| = 2·(|EB| + 15) denkleminden |EB| = 30 cm bulunur. |DE| = |ED| = |EB| + |BD| = 30 + 6 = 36 cm'dir.

a) B ve C köşelerindeki dış açıların ölçüleri 180° − m(B) ve 180° − m(C) dir. Dış açıortaylar bunları ikiye böldüğünden BLC üçgeninde m(BLC) = 180° − [(180° − m(B))/2 + (180° − m(C))/2] = (m(B) + m(C))/2 olur. m(B) + m(C) = 180° − 50° = 130° olduğundan m(BLC) = 65° bulunur. b) İki dış açıortayın kesim noktası olan L, üç kenarın (doğrunun) hepsine eşit uzaklıktadır. Yani L'nin AB ve AC'ye uzaklıkları eşittir. Bir açının kollarına eşit uzaklıktaki nokta o açının açıortayı üzerinde bulunduğundan [AL], A köşesinin iç açıortayıdır. L noktası ABC üçgeninin A köşesine ait dış teğet çemberinin merkezidir.

|BD| = 2|DC| olduğundan |BD| = (2/3)|BC| dir. ABD ve ABC üçgenlerinin A'dan indirilen yüksekliği ortaktır, bu nedenle alanlar taban oranında olur: Alan(ABD) = (2/3)·60 = 40 cm², Alan(ADC) = 20 cm². E, [AD] nın orta noktası olduğundan BAE ve BED üçgenlerinin B'den [AD] ya indirilen yüksekliği ortak ve tabanları eştir. Buna göre Alan(BED) = 40/2 = 20 cm² bulunur. Aynı şekilde Alan(CED) = 20/2 = 10 cm² olur. Alan(BEC) = Alan(BED) + Alan(CED) = 20 + 10 = 30 cm² bulunur.

a) H noktası [AC] üzerinde olduğundan |HC| = b − x. b) ABH dik üçgeninde Pisagor'dan h² = c² − x². BHC dik üçgeninde Pisagor'dan h² = a² − (b − x)². Eşitlenirse c² − x² = a² − (b² − 2bx + x²) ve buradan a² = b² + c² − 2bx bulunur. c) ABH dik üçgeninde cosA = x/c olduğundan x = c·cosA yazılır ve a² = b² + c² − 2·b·c·cosA elde edilir. Kabul edilecek temel noktalar: dikme indirerek iki dik üçgen oluşturma, Pisagor teoremini iki üçgende kullanma, cosA = x/c oranını kullanma.