8. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Soruları (1. Senaryo)

Çözüm:

Bu soruda, kare şeklindeki bir bahçenin alanı verilmiş ve bu alanın cebirsel ifadesi \(9x^2 + 24x + 16\) olarak belirtilmiştir. Kare şeklindeki bir bahçenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesi olarak ifade edilir. Bu bilgiyi kullanarak soruyu adım adım çözelim.

a) Bahçenin bir kenarının uzunluğunu cebirsel olarak yazınız.

1. Alanı Kare Kök İçinde İfade Etme:
- Kare şeklindeki bir bahçenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesine eşittir. Yani, \( (kenar\ uzunluğu)^2 = 9x^2 + 24x + 16 \).
- Bu durumda, bir kenar uzunluğunu bulmak için bu ifadeyi kare kök içine alırız: \( kenar\ uzunluğu = \sqrt{9x^2 + 24x + 16} \).

2. Tam Kare İfade Bulma:
- Verilen ifadeyi tam kare bir ifadeye dönüştürmeliyiz. \(9x^2 + 24x + 16\) ifadesi, \((3x + 4)^2\) şeklinde yazılabilir.
- Çünkü \((3x + 4)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2 = 9x^2 + 24x + 16\).

3. Kenar Uzunluğunu Belirleme:
- Bu durumda, bahçenin bir kenar uzunluğu \(3x + 4\) olacaktır.

b) Tellere ödenecek ücreti cebirsel ifade olarak bulunuz.

1. Çevreyi Hesaplama:
- Bir karenin çevresi, dört kenarının toplamıdır. Yani, \( Çevre = 4 \times (kenar\ uzunluğu) \).
- Kenar uzunluğunu \(3x + 4\) olarak bulduğumuza göre, çevre \(4 \times (3x + 4) = 12x + 16\) olacaktır.

2. Tel Ücretini Hesaplama:
- Telin metresi 50 TL olduğuna göre, toplam tel ücreti \(50 \times (12x + 16)\) TL olacaktır.
- Bu ifadeyi dağıtarak yazarsak: \(600x + 800\) TL.

Sonuç:

- a) Bahçenin bir kenarının uzunluğu: \(3x + 4\)
- b) Tellere ödenecek ücret: \(600x + 800\) TL

Doğru Cevap:
- a) Bahçenin bir kenarının uzunluğu: \(3x + 4\)
- b) Tellere ödenecek ücret: \(600x + 800\) TL

Bu soruda, süs havuzunun toplam kapasitesini bulmamız gerekiyor. Soruyu adım adım çözerek ilerleyelim.

1. Adım: İlk Durumu Belirleme

- Havuzun içinde başlangıçta bir miktar su var, bu miktara \( x \) litre diyelim.
- 425 litre su eklenince havuzun \( \frac{1}{4} \)'ü doluyor. Bu durumda:
\[x + 425 = \frac{1}{4} \times \text{Havuzun toplam kapasitesi}\]

2. Adım: İkinci Durumu Belirleme

- Başlangıçtaki sudan 130 litre su boşaltıldığında havuzun \( \frac{1}{10} \)'u dolu kalıyor. Bu durumda:
\[x - 130 = \frac{1}{10} \times \text{Havuzun toplam kapasitesi}\]

3. Adım: İki Denklemi Kurma ve Çözme

- İlk denklem:
\[x + 425 = \frac{1}{4}T\]
- İkinci denklem:
\[x - 130 = \frac{1}{10}T\]

Bu iki denklemi çözerek \( T \) yani havuzun toplam kapasitesini bulacağız.

4. Adım: Denklemleri Çözme

- İlk denklemi düzenleyelim:
\[x = \frac{1}{4}T - 425\]

- İkinci denklemi düzenleyelim:
\[x = \frac{1}{10}T + 130\]

- İki denklemi eşitleyelim:
\[\frac{1}{4}T - 425 = \frac{1}{10}T + 130\]

- Her iki tarafı da \( T \) cinsinden düzenleyelim:
\[\frac{1}{4}T - \frac{1}{10}T = 425 + 130\]

- Paydaları eşitleyelim:
\[\frac{5}{20}T - \frac{2}{20}T = 555\]

- Sadeleştirelim:
\[\frac{3}{20}T = 555\]

- Her iki tarafı da 20 ile çarpalım:
\[3T = 11100\]

- Her iki tarafı da 3'e bölelim:
\[T = 3700\]

Sonuç:

Havuzun tamamı 3700 litre su alır. Doğru Cevap: 3700

Çözüm:

a) Verilen noktalardan hangisi orijin seçilirse E noktasının koordinatları \((-2,3)\) olur?

1. E noktasının koordinatları \((-2,3)\) olacak şekilde orijini belirleyelim.
- E noktasının \((-2,3)\) olması demek, E noktasının orijine göre 2 birim sola ve 3 birim yukarıda olması demektir.

2. E noktasının konumunu inceleyelim:
- E noktası, A noktasının 2 birim solunda ve 3 birim yukarısında yer alıyor.

3. Sonuç:
- Bu durumda, A noktası orijin olarak seçilirse, E noktasının koordinatları \((-2,3)\) olur.

b) Orijin noktası belirlendikten sonra tüm noktaların koordinatlarını sıralı ikililer şeklinde yazınız.

1. A noktasını orijin olarak kabul edelim ve diğer noktaların koordinatlarını belirleyelim:
- A noktası: \((0,0)\)
- B noktası: A noktasının 2 birim sağında ve 1 birim aşağısında, yani \((2,-1)\)
- C noktası: A noktasının 1 birim solunda ve 3 birim aşağısında, yani \((-1,-3)\)
- D noktası: A noktasının 4 birim sağında ve 1 birim aşağısında, yani \((4,-1)\)
- E noktası: Zaten \((-2,3)\) olarak belirlenmişti.

Sonuç:

- a) Doğru Cevap: A noktası
- b) Tüm noktaların koordinatları:
- A: \((0,0)\)
- B: \((2,-1)\)
- C: \((-1,-3)\)
- D: \((4,-1)\)
- E: \((-2,3)\)

Bu soruda, Güneş'in kumbarasında biriken paranın miktarını ve geçen zaman arasındaki ilişkiyi bulmamız isteniyor. Bu tür sorularda, verilen bilgileri adım adım inceleyerek bir denklem oluşturabiliriz.

Adım 1: Başlangıç Durumu
- Güneş'in kumbarasında başlangıçta 100 TL var.

Adım 2: Haftalık Harçlık ve Harcama
- Güneş, dedesinden her hafta 50 TL harçlık alıyor.
- Bu harçlığın 10 TL'sini harcıyor, yani her hafta kumbarasına 40 TL ekliyor.

Adım 3: Zaman ve Birikim İlişkisi
- Her hafta kumbaraya eklenen miktar: 40 TL
- Geçen hafta sayısını \( t \) ile gösterirsek, \( t \) hafta sonra kumbaraya eklenen toplam para: \( 40t \) TL olur.

Adım 4: Denklemi Oluşturma
- Başlangıçtaki para miktarı: 100 TL
- Her hafta eklenen para miktarı: \( 40t \) TL
- Toplam para miktarı: Başlangıç parası + Eklenen para

Bu durumda, Güneş'in kumbarasında biriken toplam para miktarı \( x \) ile gösterilirse, denklemi şu şekilde yazabiliriz:

\[ x = 100 + 40t \]

Özet:
- Başlangıçta kumbarada 100 TL var.
- Her hafta 40 TL ekleniyor.
- Geçen hafta sayısı \( t \) olduğunda, kumbaradaki toplam para miktarı \( x = 100 + 40t \) denklemi ile ifade edilir.

Sonuç:
Güneş'in kumbarasında biriken paranın miktarı ile geçen zaman arasındaki ilişkiyi ifade eden denklem: \( x = 100 + 40t \). Unutmayın, bu tür sorularda adım adım ilerlemek ve verilen bilgileri dikkatlice kullanmak önemlidir. TESTCOZ.ONLINE yanınızda!

Bu soruda, verilen doğrunun denklemi \(2x - y + a = 0\) ve bu doğrunun A(-3, -2) noktasından geçtiği bilgisi verilmiş. Bu bilgiyi kullanarak \(a\) değerini bulacağız ve ardından bu denklemi koordinat sisteminde çizeceğiz.

1-) \(a\) Değerinin Bulunması

Doğru denklemi \(2x - y + a = 0\) olduğuna göre, bu doğrunun A(-3, -2) noktasından geçtiğini biliyoruz. Bu noktayı denkleme yerleştirerek \(a\) değerini bulabiliriz.

Adım 1: A(-3, -2) noktasını denkleme yerleştirelim:
\[2(-3) - (-2) + a = 0\]

Adım 2: İşlemleri yapalım:
\[-6 + 2 + a = 0\]

Adım 3: Toplama işlemini yapalım:
\[-4 + a = 0\]

Adım 4: \(a\) değerini bulalım:
\[a = 4\]

Sonuç: \(a\) değeri 4 olarak bulunur.

2-) Denklemin Koordinat Sisteminde Çizilmesi

Bulduğumuz \(a = 4\) değerini kullanarak denklemi yeniden yazalım:
\[2x - y + 4 = 0\]

Bu denklemi \(y\) cinsinden düzenleyelim:
\[y = 2x + 4\]

Bu doğruyu çizmek için iki nokta belirleyebiliriz:

- Nokta 1: \(x = 0\) için \(y\) değerini bulalım:
\[y = 2(0) + 4 = 4\]
Yani, (0, 4) noktası doğrunun üzerindedir.

- Nokta 2: \(y = 0\) için \(x\) değerini bulalım:
\[0 = 2x + 4 \implies 2x = -4 \implies x = -2\]
Yani, (-2, 0) noktası doğrunun üzerindedir.

Bu iki noktayı kullanarak doğruyu koordinat sisteminde çizebiliriz. Doğru, (0, 4) ve (-2, 0) noktalarından geçecektir.

Özet:
- \(a\) değerini 4 olarak bulduk.
- Doğru denklemi \(y = 2x + 4\) şeklindedir.
- Doğru, (0, 4) ve (-2, 0) noktalarından geçer.

TESTCOZ.ONLINE sizinle! Bu adımları takip ederek doğruyu kolayca çizebilirsiniz. Başarılar!

Bu soruda, sıcaklığın zamanla nasıl değiştiğini anlamamız ve bu değişimi bir denklemle ifade etmemiz isteniyor. İlk olarak, sıcaklığın her hafta 2 °C düştüğünü biliyoruz. Bu tür bir problemde, sıcaklığın zamanla değişimini bir doğrusal denklem ile ifade edebiliriz.

Adım 1: Denklemi Kurma

1. Başlangıç Sıcaklığı: İlk sıcaklık 4 °C.
2. Değişim Oranı: Her hafta sıcaklık 2 °C azalıyor. Bu, sıcaklığın zamanla değişim oranıdır ve negatif bir değerdir çünkü sıcaklık düşüyor.

Denklemimizi kurarken, sıcaklığı \( T \) ve haftaları \( t \) ile gösterelim. Başlangıç sıcaklığı 4 °C olduğuna göre, başlangıçta \( t = 0 \) için \( T = 4 \) olur. Her hafta sıcaklık 2 °C azaldığı için, değişim oranı -2 °C/hafta olur.

Bu bilgileri kullanarak denklemi yazabiliriz:

\[ T = 4 - 2t \]

Burada:
- \( T \) sıcaklığı temsil eder.
- \( t \) haftaları temsil eder.

Adım 2: Denklemin Grafiğini Çizme

Grafiği çizerken, \( t \) ekseni haftaları, \( T \) ekseni ise sıcaklığı temsil eder. Başlangıç noktası (0, 4) olacaktır çünkü başlangıçta sıcaklık 4 °C'dir. Her hafta geçtiğinde, sıcaklık 2 °C azalır.

1. Başlangıç Noktası: (0, 4)
2. 1. Hafta: \( t = 1 \) için \( T = 4 - 2 \times 1 = 2 \) olur. Nokta (1, 2).
3. 2. Hafta: \( t = 2 \) için \( T = 4 - 2 \times 2 = 0 \) olur. Nokta (2, 0).
4. 3. Hafta: \( t = 3 \) için \( T = 4 - 2 \times 3 = -2 \) olur. Nokta (3, -2).

Bu noktaları birleştirerek bir doğru elde ederiz. Doğru, her hafta sıcaklığın 2 °C azaldığını gösterir.

Özet

- Denklem: \( T = 4 - 2t \)
- Grafik: Başlangıç noktası (0, 4) ve her hafta 2 °C azalan bir doğru.

Bu denklem ve grafik, sıcaklığın zamanla nasıl değiştiğini açıkça gösterir. Farklı haftalar için sıcaklığı bulmak için bu denklemi kullanabilirsiniz.